논리학 주해, 제2장
2.1~2.3 순수한 양, 연속성과 이산성
양은 존재에 대한 무관심성이라는 점에서 질과 구별된다. 질의 변화가 사물의 무엇을 변화시키는 반면(물이 얼음이 된다), 양적 변화(물이 더 많아짐)는 우선 사물을 변화시키지 않은 채로 둔다. 우리는 모든 측정과 수학의 토대인 얼마만큼의 논리를 탐구한다. 그리고 우리는 이러한 무관심성 자체가 논리적 구조를 지니며, 그것이 마침내 자신의 한계에 부딪친다는 것을 발견한다.
여기에 쉽게 간과되는 이 장의 위상이 있다. 여기에서 전개되는 것은 수학화 가능성 자체다. 사물의 성질에서 벗어나 오직 그 크기만을 고찰할 수 있다는 것은 자명한 일이 아니라 하나의 결과다. 질은 일자(一者)들의 다양성 속에서 규정성이 무관심한 것이 될 만큼 지양되었다. 바로 그때 비로소 측정이 가능해진다.
그리고 이면(裏面)이 곧바로 뒤따른다. 양은 질을 도외시하기 때문에, 동일한 방정식이 진자와 전기 회로를 동시에 기술할 수 있다. 수학의 유명한 해석 개방성 — 그 공식들이 가장 이질적인 것들에 적용된다는 점 — 은 기적이 아니라, 생산적 측면에서 본, 도출된 무관심성이다. 그것은 수학적 자연과학의 도달 범위의 근거인 동시에 그 맹목성의 근거다. 수학적 자연과학이 파악하는 것은, 바로 그것이 무엇을 도외시함으로써 파악한다.
헤겔은 양의 근본적인 이중 구조를 분석한다. 양은 동시에 이산적(개별적인 일자들로 이루어져 있고, 셀 수 있음)이며 연속적(흐르는 전체)이다. 이 긴장은 해소될 수 없다. 그것은 양 자체의 기본 구조다.
이행은 헤겔이 강의에서 사용한 한 예를 통해 확정할 수 있다. “집은 집이다. 그것이 더 크든 더 작든.” 질에서는 존재가 규정성과 완전히 동일했다. 어떤 것(Etwas)은 자신의 질이 변하면 더 이상 자기 자신이기를 그친다. 이에 반해 크기는 “규정되지 않는” 경계다. 그것은 사물이 자신의 존재를 그치지 않은 채 변할 수 있다.[1] 양은 사물에 대해 무관심해진 규정성이다.
무엇이 하나로 셈해지는가? 우리는 사물 일반을 셀 수 없다. 셈 규칙(전문 용어: 소탈(Sortal))이 필요하다. 정확히 무엇을 셀 것인가? 사과인가, 과일의 종류인가? 사람인가, 집단인가? 대답은 결과를 근본적으로 바꾼다. 질은 단지 역사적으로만이 아니라 논리적으로도 양에 앞선다. 질적 결정 없이는 양은 불가능하다. 심화: 슈테켈러, 프레게, 러셀은 서로 다른 측면에서 다음을 확인해 준다. 셈은 항상 어떤 개념(소탈)에 상대적이다.[2] 직접 실행해 보십시오: 방 안의 사물들을 세어 보십시오 — 무엇이 하나의 사물로 간주되어야 하는지 결정하지 않은 채로. 양말 한 짝이 각각 셈해지는가? 먼지 한 톨이 각각 셈해지는가? 여러분은 알게 됩니다. 질적 결정 없이는 양이 불가능하다는 것을.
여기서 셈의 조건으로 나타나는 것은 구분의 문제다. 우리는 무엇에 따라 구별하는가? [[systematisches-denken:8]] (선택)은 이를 고유한 질서 방식으로 전개하는데, 고전적 구분론에서 다중 분지 분류법에 이르기까지 다룬다.
일상적 사례: 음악을 생각해 보십시오. 멜로디는 연속적이다 — 흐르는 진행이다. 그러나 그것을 기보하려면 이산적인 음표(C, D, E…)가 필요하다. 음표들은 멜로디 자체는 아니지만, 충분히 촘촘하게 배치되어 있다면 멜로디를 완전히 포착한다. 반대로, 흐르는 것이 없다면 음표들은 연관 없는 고립된 점들일 뿐일 것이다. 흐르는 것과 개별적인 것 사이의 긴장은 해소될 수 없다 — 둘은 상호적으로 열어 보인다. 연속성과 이산성은 동근원적(同根源的)이다 — 어느 하나가 다른 하나보다 더 근본적이지 않다. 강의에서 헤겔은 세 가지 사례를 들어 말한다. 양은 “공간, 시간, 질료와 마찬가지로, 이산성, 즉 원자들로 이루어진 것도 아니고 연속성도 아니며, 그 둘의 통일이다. 두 규정은 그 안에 동시에 들어 있다.”[3] 그리고 그는 쉽게 간과되는 점을 덧붙인다. 부정적 계기는 연속적 크기에도 결여되어 있지 않다 — 연속성 안에는 "규정 가능성의 규정"이 놓여 있으며, 그 안에 경계를 설정할 수 있다. 흐르는 것은 규정되지 않은 것이 아니라, 아직 규정되지 않은 것이다. 심화(수학): 괴델(1940)과 코언(1963)은 연속체 가설이 집합론의 공리들로부터 독립적임을 보여 주었다 — 자연수와 실수 사이의 기수가 존재하는지 여부는 ZFC로부터 증명할 수도 반증할 수도 없다. 이것은 연속체가 점들로 이루어져 있는지라는 철학적 물음과 동일한 것은 아니다. 그러나 그것은 점집합적 파악이 그 사태를 확정하지 못한다는 것을 보여 준다. 슈테켈러는 이를 헤겔 입장의 확증으로 읽는다. 연속체가 일차적이며, 점들은 연속체 안의 절단들이지 그것의 원자들이 아니다.[4]
양자(Quantum)와 나쁜 양적 무한성
순수 양은 스스로를 양자(Quantum) — 하나의 규정된 크기 — 로 한정한다. 결정적 특징: 경계가 무관심하다. 밭이 5헥타르인지 6헥타르인지는 밭으로서의 질에 아무것도 바꾸지 않는다. 수행해 보십시오: 임의의 수를 취하십시오 — 가령 “5”. 스스로에게 물으십시오: 왜 5이고 6이 아닌가? 질적 근거는 없습니다. 계속 셀 수 있습니다: 6, 7, 8… 언제 멈춥니까? 경계는 자의적입니다. 당신은 여기서 셈의 나쁜 무한성을 경험합니다: 사고는 결코 도착하지 않는다. 심화(증명이 아닌 유비): 칸토어의 현행적 무한성 — 모든 자연수의 집합을 닫힌 전체성으로 — 은 동일한 단계를 수학적 형태로 수행한다: 끝없이 계속 세는 대신, 전체가 하나의 통일로 파악된다. 칸토어는 헤겔적으로 사고하지 않았고, 두 개념은 다르게 정의되어 있다; 사유 형상으로서 유비는 유효하다.
외연적 크기와 내포적 크기
여기서 양자는 근본적으로 다르면서도 분리 불가능한 두 형식으로 분화된다:
| 유형 | 특성 | 예시 | 성격 |
|---|---|---|---|
| 외연적 크기 | 분할 가능, 가산적 | 질량, 부피, 돈 | 전체 = 부분들의 합 |
| 내포적 크기 (정도) | 분할 불가능 | 온도, 밀도, 고통 | 20°C는 "10°C의 두 배"가 아니다 |
일상적 사례: 따뜻한 물 두 컵을 부으면, 물의 양은 두 배가 되지만(외연적), 온도는 그대로다(내포적). 이것이 차이를 구체적으로 보여준다: 외연적 크기들은 합칠 때 더해지고, 내포적 크기들은 그렇지 않다. 물리학에서 이 구별은 근본적이다: 부피, 질량, 에너지는 외연적이며; 온도, 압력, 밀도는 내포적이다. 결정적 통찰: 둘은 서로 독립적이지 않다 — 온도(내포적)는 분자들의 평균 운동 에너지(외연적)에 대응한다. 그것들은 서로 전환된다.
변증법: 둘 다 서로 전환된다 — 온도가 보여주듯, 온도는 내포적이지만 분자들의 외연적 운동 에너지에 대응한다. 이 구별은 물리학을 넘어선다: 정보도 외연적 측면(두 배의 비트 = 두 배의 저장 용량)과 내포적 측면(한 문장의 의미는 두 번 쓴다고 두 배가 되지 않는다)을 가진다. 이것은 물리학적 개념들의 정확한 전유가 아니지만, 외연적/내포적 구조 구별이 많은 영역에서 되돌아옴을 보여준다.
양적 관계와 척도로의 이행
양(量)은 **관계(關係)**에서 완성된다. 여기서 정량(定量)은 더 이상 고립되어 있지 않고 다른 정량과 관계를 맺는다. 관계의 세 형식은 단순히 병렬되어 있지 않다. 그것들은 단계적으로 심화된다.
정비례 관계 (y = kx —— 비례, 측정의 근거): 비례상수 k는 외부에서 덧붙는 고정된 제삼자다. 두 크기는 서로에 대해 아무것도 모른다. 그것들은 비교될 뿐이다.
반비례 관계 (pV = const —— 보일의 기체 법칙): 이제 연관은 더 긴밀하다. 하나가 커지면 다른 하나는 줄어든다. 누군가 그렇게 규정했기 때문이 아니라 하나의 총량(總量)이 일정하게 유지되기 때문이다. 크기들은 서로 결합되어 있지만, 결합은 아직 제삼자, 즉 곱에 놓여 있다.
거듭제곱 관계 (s = ½gt² —— 낙하 법칙): 여기서 양은 자기 자신과 관계한다. 거듭제곱한다는 것은 연산을 그 연산 자신의 결과에 적용한다는 것을 뜻한다. 더 이상 외부의 제삼자가 관계를 규정하지 않는다. 그 대신 크기는 자신의 고유한 반복을 통해 스스로를 규정한다.
그러므로 거듭제곱은 양의 마지막 범주이자 전환점이다. 양이 스스로를 규정하는 곳에서, 양은 자신이 규정하는 것에 대해 더 이상 무차별(無差別)하지 않다. 길이의 제곱은 면적이고, 길이의 세제곱은 부피다. 양이 질(質)을 산출해 낸 것이다. 이로써 양은 질로 전환되고, 우리는 척도(尺度) 앞에 서게 된다.
삽화: 피보나치 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…)은 순수한 덧셈을 통해 생성된다. 각 수는 앞의 두 수의 합이고, 곱셈은 단 한 번도 행해지지 않는다. 그러나 연속하는 항들의 비를 구하면, 그 비들은 고정된 값, 즉 황금비 φ ≈ 1.618에 접근한다. 그리고 이 값은 곱셈적 방정식 φ² = φ + 1로 규정된다. 그 값의 제곱은 그것 자신 더하기 1과 동일하다.
이로써 전환은 손에 잡히게 된다. 순수하게 덧셈적인 규칙이 하나의 극한값을 산출하는데, 그 값의 규정은 곱셈적이다. 양은 자기 자신과 관계함으로써, 그 규칙 속에 있지 않았던 무엇인가를 산출해 낸 것이다. 이에 대한 전개는 [[geburt-der-multiplikation]] (optional)에서 이루어지며, 그 글은 셈하기부터 소수(素數)에 이르기까지 동일한 운동을 추적한다.
제2장에 대한 비판적 성찰
양의 학설은 흔히 건조해 보이지만, 측정하려는 모든 학문의 기초다. 그것은 두 가지를 가르친다: 얼마만큼(증거의 양)은 그 자체의 논리적 위상을 갖는다 — 데이터가 너무 적은 자는 판단할 수 없다. 그러나 그것은 결코 무엇인가(진리 내용)를 대체할 수 없다. 현대의 데이터 페티시즘 — 진리의 보증으로서의 빅데이터, 인과성의 대체로서의 상관 — 은 이해의 질적 차원을 망각한, 순수한 양으로의 퇴행이다. 존재논리학이 보여주는 것은: 질 없는 양은 맹목적이고, 양 없는 질은 공허하다.