Commento alla Logica, Capitolo 2

Kai Froeb

Quantità pura, continuità e discretezza

La quantità si distingue dalla qualità per la sua indifferenza rispetto all’essere: mentre un mutamento della qualità cambia il cosa della cosa (l’acqua diventa ghiaccio), un mutamento quantitativo (più acqua) lascia dapprima invariata la cosa. Esaminiamo la logica del quanto, il fondamento di ogni misurazione e matematica — e scopriamo che questa indifferenza ha essa stessa una struttura logica, la quale infine urta contro i propri limiti.

Qui sta il rango di questo capitolo, che si trascura facilmente: ciò che qui viene sviluppato è la matematizzabilità in sé. Che si possa prescindere dalla natura di una cosa e considerarne solo la grandezza non è un’ovvietà — è un risultato. La qualità si è tolta nella molteplicità degli uno fino al punto che la determinatezza è diventata indifferente; solo così diventa possibile il misurare.

E il rovescio segue immediatamente: poiché la quantità prescinde dalla qualità, la stessa equazione può descrivere un pendolo e un circuito elettrico. La celebre apertura interpretativa della matematica — che le sue formule si adattano a cose molto diverse — non è un miracolo, bensì l’indifferenza derivata dal suo lato produttivo. È il motivo della portata della scienza naturale matematica e insieme della sua cecità: ciò che essa coglie, lo coglie prescindendo dal cosa.

Hegel analizza la struttura doppia fondamentale della quantità: essa è insieme discreta (composta di singoli uno, numerabile) e continua (un insieme fluente). Questa tensione non è risolvibile — è la struttura fondamentale della quantità stessa.

Il passaggio si può fissare con un esempio che Hegel usa nel corso: “Casa è casa, che sia più grande o più piccola.” Nella qualità, l’essere era del tutto identico alla determinatezza — un qualcosa smette di essere se stesso quando la sua qualità muta. La grandezza invece è un limite “che non viene determinato”: può mutare senza che la cosa cessi di essere ciò che è.^[1] La quantità è la determinatezza che è diventata indifferente alla cosa.

Cosa conta come uno? Non si possono contare cose in generale — serve una regola di conteggio (termine tecnico: sortale): cosa esattamente contiamo? Mele o varietà di frutta? Persone o gruppi? La risposta cambia radicalmente il risultato. La qualità precede la quantità non solo storicamente, ma logicamente — senza una decisione qualitativa la quantità è impossibile. Approfondimento: Stekeler, Frege e Russell confermano da prospettive diverse: contare è sempre relativo a un concetto (un sortale).^[2] Compite questo: provate a contare le cose nella vostra stanza — senza decidere cosa debba valere come una cosa. Ogni calzino conta singolarmente? Ogni granello di polvere conta? Notate: senza decisione qualitativa la quantità è impossibile.

Ciò che qui appare come condizione del contare è la questione della classificazione: secondo cosa distinguiamo? [[systematisches-denken:8]] (facoltativo) la sviluppa come modo di ordinamento a sé, dalla classica dottrina della classificazione fino alla tassonomia ramificata.

Esempio quotidiano: pensate alla musica. Una melodia è continua — uno svolgimento fluente. Ma per trascriverla servono note discrete (Do, Re, Mi…). Le note non sono la melodia, ma la colgono completamente — a condizione che siano poste in modo sufficientemente fine. Viceversa: senza il fluente, le note sarebbero solo punti isolati senza nesso. La tensione tra il fluente e il singolo non è risolvibile — entrambi si dischiudono reciprocamente. Continuità e discretezza sono co-originarie — nessuna è più fondamentale dell’altra. Nel corso, Hegel lo dice con tre esempi: la quantità, “come lo spazio, il tempo, la materia, non è discretezza, cioè composta di atomi, né una continuità, ma l’unità di entrambe. Entrambe le determinazioni sono presenti insieme in essa.”^[3] E aggiunge ciò che si trascura facilmente: il momento negativo non manca neppure alla grandezza continua — nella continuità sta “la determinazione della determinabilità”, vi si possono porre confini. Il fluente non è l’indeterminato, ma il non ancora determinato. Approfondimento (matematica): Gödel (1940) e Cohen (1963) hanno mostrato che l’ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi — se esistano cardinalità tra i numeri naturali e i reali non si può né dimostrare né confutare a partire da ZFC. Non è la stessa cosa della questione filosofica se il continuo sia composto di punti; ma mostra che la concezione insiemistica-puntuale non risolve la questione. Stekeler legge questo come conferma della posizione di Hegel: il continuo è primario; i punti sono tagli nel continuo, non suoi atomi.^[4]

Quanto e la cattiva infinità quantitativa

La quantità pura si delimita in quanto — una grandezza determinata. Il tratto decisivo: il limite è indifferente. Che un campo sia grande 5 o 6 ettari non muta nulla della sua qualità di campo. Compite questo: prendete un numero qualsiasi — diciamo “5”. Chiedetevi: perché 5 e non 6? Non c’è alcuna ragione qualitativa. Potreste continuare a contare: 6, 7, 8… Quando vi fermate? Il limite è arbitrario. Sperimentate qui la cattiva infinità del contare: il pensiero non arriva mai. Approfondimento (analogia, non prova): l’infinità attuale di Cantor — l’insieme di tutti i numeri naturali come totalità chiusa — compie lo stesso passo in forma matematica: invece di continuare a contare all’infinito, l’intero viene colto come unità. Cantor non pensava in modo hegeliano, e i due concetti sono definiti diversamente; come immagine concettuale il parallelo regge.

Grandezza estensiva e intensiva

Qui il quanto si differenzia in due forme, fondamentalmente diverse eppure inseparabili:

Tipo	Proprietà	Esempio	Carattere
Grandezza estensiva	Divisibile, additiva	Massa, volume, denaro	Il tutto = somma delle parti
Grandezza intensiva (grado)	Indivisibile	Temperatura, densità, dolore	20°C non è “il doppio di 10°C”

Esempio quotidiano: Se versate insieme due tazze d’acqua calda, la quantità d’acqua raddoppia (estensiva), ma la temperatura resta la stessa (intensiva). Questo mostra la differenza in modo concreto: le grandezze estensive si addizionano quando vengono unite, quelle intensive no. In fisica questa distinzione è fondamentale: volume, massa, energia sono estensivi; temperatura, pressione, densità sono intensivi. L’intuizione decisiva è questa: le due non sono indipendenti l’una dall’altra — la temperatura (intensiva) corrisponde all’energia cinetica media delle molecole (estensiva). Esse si convertono l’una nell’altra.

La dialettica: entrambe si convertono l’una nell’altra — come mostra la temperatura, che è intensiva, ma corrisponde all’energia cinetica estensiva delle molecole. La distinzione va oltre la fisica: anche l’informazione ha un lato estensivo (il doppio dei bit = il doppio della capacità di memoria) e un lato intensivo (il significato di una frase non si raddoppia se la si scrive due volte). Non si tratta di un trasferimento esatto di concetti fisici, ma mostra che la distinzione strutturale tra estensivo e intensivo ricorre in molti ambiti.

Relazione quantitativa e passaggio alla misura

La quantità si compie nel rapporto — qui un quanto non sta più isolato, ma in relazione a un altro. Le tre forme del rapporto non stanno l’una accanto all’altra; si intensificano.

Rapporto diretto (y = kx — la proporzionalità, fondamento della misurazione): il fattore di proporzionalità k è un terzo fisso che si aggiunge dall’esterno. Le due grandezze non sanno nulla l’una dell’altra; vengono confrontate.

Rapporto inverso (pV = cost. — la legge dei gas di Boyle): ora il legame è più stretto. Se una cresce, l’altra si riduce — non perché qualcuno lo stabilisca, ma perché una grandezza complessiva resta costante. Le grandezze sono legate l’una all’altra, ma il legame sta ancora in un terzo, il prodotto.

Rapporto di potenza (s = ½gt² — la legge di caduta): qui la quantità si riferisce a se stessa. Elevare a potenza significa: applicare l’operazione al proprio stesso risultato. Nessun terzo esterno determina più il rapporto, ma la grandezza si determina attraverso la propria ripetizione.

Perciò la potenza è l’ultima categoria della quantità e il punto di svolta. Dove la quantità si determina da sé, non è più indifferente rispetto a ciò che determina: il quadrato di una lunghezza è una superficie, il suo cubo un volume — la quantità ha prodotto una qualità. Con ciò la quantità trapassa nella qualità, e ci troviamo davanti alla misura.

Illustrazione: la successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) viene generata da pura addizione — ogni numero è la somma dei due precedenti, senza mai moltiplicare. Ma se si formano i rapporti dei termini successivi, essi si avvicinano a un valore fisso: φ ≈ 1,618, la sezione aurea. E questo valore è determinato da un’equazione moltiplicativa: φ² = φ + 1. Il suo quadrato è identico a se stesso più uno.

Con ciò lo scarto diventa afferrabile. Una prescrizione puramente additiva genera un valore limite la cui determinazione è moltiplicativa — la quantità, riferendosi a se stessa, ha prodotto qualcosa che nella prescrizione non c’era. Ciò è sviluppato in [[geburt-der-multiplikation]] (facoltativo), che segue lo stesso movimento dal contare fino ai numeri primi.

Riflessione critica sul capitolo 2

La dottrina della quantità sembra spesso arida, ma è la base di ogni scienza che voglia misurare. Insegna due cose: il quanto (la quantità di evidenza) ha una propria dignità logica — chi ha troppo pochi dati non può giudicare. Ma non può mai sostituire il cosa (il contenuto di verità). Il moderno feticismo dei dati — i big data come garante di verità, la correlazione come surrogato della causalità — è una ricaduta nella pura quantità che dimentica la dimensione qualitativa della comprensione. La logica dell’essere mostra: la quantità senza qualità è cieca, la qualità senza quantità è vuota.

---

1. Ivi, pp. 493 s. ↩︎

2. Stekeler, Hegels Wissenschaft der Logik. Ein dialogischer Kommentar, vol. 1 (Die Lehre vom Sein), Amburgo 2019, p. 366; cfr. pp. 562 e 566. ↩︎

3. Trascrizione Libelt, corso 1828: GW 23.2, pp. 493 s. ↩︎

4. Ivi, p. 684. Stekeler mostra qui che la concezione di Cantor di linee e superfici come insiemi di punti annulla la differenza categoriale tra un continuo e un insieme di punti in esso — una differenza che Hegel vede ancora. ↩︎